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Adrien Sauvagnat (10/11/2006, 12h50)
Bonjour,
J'aurais aimé savoir comment on démontre que l'ensemble de tous les ensemble
n'existe pas ?

cordialement,
adrien
Philippe Gaucher (10/11/2006, 13h13)
"Adrien Sauvagnat" <ragnartichaud> writes:

> Bonjour, J'aurais aimé savoir comment on démontre que l'ensemble de
> tous les ensemble n'existe pas ?


Le prédicat P(x)="x=x" ne correspond à aucun ensemble. Sinon soit
X={x,P(x) vrai}. Alors on peut former l'ensemble Y={x de X, x
n'appartient pas à x}. Alors Y appartient à Y implique Y n'appartient
pas à Y et inversement Y n'appartient pas à Y implique Y appartient à
Y. Donc Y appartient à Y ssi Y n'appartient pas à Y, ce qui est
absurde.

Pour jouer avec la théorie des ensembles avec un ordinateur :

[..]

et plus précisément

[..]

et l'applet Java

[..]

pg.
Adrien Sauvagnat (10/11/2006, 14h39)
Je trouve ça bô,
merci

et juste pour info, n'y aurait-il pas quelqu'un qui ait déjà essayé de
trouver un moyen de regrouper tous les ensembles ensemble, nan ?

"Philippe Gaucher" <pg> a écrit dans le message de news:
m27iy34ks0.fsfbee...
[..]
Benoit RIVET (10/11/2006, 17h13)
Adrien Sauvagnat <ragnartichaud> wrote:

> J'aurais aimé savoir comment on démontre que l'ensemble de tous les ensemble
> n'existe pas ?


L'ensemble des parties d'un ensemble E contient plus d'élément que
l'ensemble E. Plus précisément, si E est un ensemble, il n'existe pas de
surjection de E dans P(E) -l'ensemble des parties de E-.

En effet, si f est une application de E dans P(E), l'ensemble A des x de
E tels que x n'appartient pas à f(x) n'est pas dans l'image de f.

Réciproquement, il n'existe pas d'injection de P(E) dans E (sinon, on
pourrait définir une surjection de E dans P(E)).

Mais... si E est l'ensemble de tous les ensemble, il contient tous les
éléments de P(E). Il y a donc une injection de P(E) dans E, ce qui
est... légèrement contradictoire.

La morale de l'histoire est simple: si on a une axiomatique raisonnable
des ensembles, dans lequel le raisonnement que j'ébauche a un sens, la
collection de tous les ensembles n'est pas un ensemble au sens de
l'axiomatique choisie.
Benoit RIVET (10/11/2006, 17h17)
Benoit RIVET <benoit.rivet> wrote:

> La morale de l'histoire est simple: si on a une axiomatique raisonnable
> des ensembles, dans lequel le raisonnement que j'ébauche a un sens, la
> collection de tous les ensembles n'est pas un ensemble au sens de
> l'axiomatique choisie.


Si je me restreins par exemple à n'étudier que les ensembles _finis_, la
collection de tous les ensembles de mon axiomatique n'est pas finie. Ce
n'est donc pas un ensemble au sens de mon axiomatique.
Adrien Sauvagnat (10/11/2006, 21h23)
et y a pas moyen de créer une sorte de "super-ensemble" ?

"Benoit RIVET" <benoit.rivet> a écrit dans le message de
news:ivet
[..]
Etienne Rousee (10/11/2006, 21h34)
"Adrien Sauvagnat" <ragnartichaud> a écrit ...
> et y a pas moyen de créer une sorte de "super-ensemble" ?


Si, ça s'appelle une catégorie.
Cherche les mots 'catégorie' et 'foncteur' sur google,
et tu auras de la lecture pour les longues soirées d'hiver.
Mehdi Tibouchi (10/11/2006, 21h48)
"Etienne Rousee" wrote in message
<4554d49c$0$25933$ba4acef3>:
> Si, ça s'appelle une catégorie.


Dans le contexte de la discussion, on pourrait parler plutôt de classe
propre, non ? Que les objets d'une catégorie puissent former une classe
propre est exact dans les axiomatisations qu'on adopte d'habitude, mais
je ne dirais pas que c'est un aspect essentiel, ou même important, de la
théorie des catégories.
Etienne Rousee (11/11/2006, 00h28)
"Mehdi Tibouchi" <medtib> a écrit ...
[..]
> propre est exact dans les axiomatisations qu'on adopte d'habitude, mais
> je ne dirais pas que c'est un aspect essentiel, ou même important, de la
> théorie des catégories.


Oui, mais je ne cherchais pas la définition minimale, mais plutôt
la plus naturelle (je sais, c'est très subjectif).
Joe Cool (12/11/2006, 22h41)
Adrien Sauvagnat a écrit :
> et y a pas moyen de créer une sorte de "super-ensemble" ?


C'est le rôle de l'axiome de l'infini dans le cas des ensembles finis.
L'ensemble des ensembles finis n'est pas un ensemble fini. Il suffit
alors de postuler l'existence d'un ensemble infini contenant tous les
ensembles finis. Dans le cas de l'ensemble de tous les ensembles, on
fait pareil : on postule l'existence d'un bidule qui n'est pas un
ensemble et qui contient tous les ensembles. Le bidule est souvent
appelé catégorie. On fait pareil avec la catégorie de toutes des
catégories, etc. Le but du jeu consiste a obtenir le système formel le
plus inepte possible, avec des postulats gratuits dans tous les coins.
Il y en a qui en ont fait leur métier.
Philippe Gaucher (13/11/2006, 04h23)
"Etienne Rousee" <etienne> writes:

> "Adrien Sauvagnat" <ragnartichaud> a écrit ...
>> et y a pas moyen de créer une sorte de "super-ensemble" ?

> Si, ça s'appelle une catégorie.


Non. Ca s'appelle un univers de Grothendieck qui s'apparente à un
axiome de l'infini plus gros que le premier d'entre-eux.
[..]

Une catégorie, c'est autre chose : des objets plus ds morphismes.

[..]

D'ailleurs, il y en a des petites dont la collection des objets et des
morphismes est un ensemble. Par exemple, un graphe orienté (sommets +
arêtes orientés) peut se voir comme une catégorie. Un groupe (G,x)
peut se voir aussi comme une petite catégorie avec un seul objet et un
morphisme par élément : les morphismes sont alors tous inversibles. La
petite catégorie associée à un groupe est un groupoïde à un seul
objet.

[..]

pg.
Vincent Nesme (13/11/2006, 13h27)
Philippe Gaucher , dans son post <m2y7qgxexl.fsf>, a écrit
:
>>> et y a pas moyen de créer une sorte de "super-ensemble" ?

>> Si, ça s'appelle une catégorie.


> Non. Ca s'appelle un univers de Grothendieck qui s'apparente à un
> axiome de l'infini plus gros que le premier d'entre-eux.
> [..]


Première phrase :

"In mathematics, a Grothendieck universe is a set [...]"
Philippe Gaucher (13/11/2006, 14h02)
nesme (Vincent Nesme) writes:

> Philippe Gaucher , dans son post <m2y7qgxexl.fsf>, a écrit
> :
> Première phrase :
> "In mathematics, a Grothendieck universe is a set [...]"


Oui bon certes. Mais l'idée est bien d'avoir un objet U qui contient
tous les ensembles fabriqués avec ZFC, puisqu'on ne pourra jamais
sortir de l'univers U, ni même prouver l'existence de U à l'intérieur
de ZFC, sinon on prouverait l'existence d'un cardinal fortement
inaccessible dans ZFC. D'ailleurs, dernières phrases :

"The idea of universes is due to Alexander Grothendieck, who used them
as a way of avoiding proper classes in algebraic geometry."

pg.
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