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Ma question concerne s'application du theoreme
des residus en analyse complexe. L'idee m'est venue en parcourant mes bouquins d'analyse complexe (j'en ai un certain nombre !). J'ai bien "googler" mais n'est rien trouve de consistant, peut etre par manque de mots cles appropries. Je vous soumet donc ma question. Le theoreme des residus s'applique lorsque le domaine (et/ou sa frontiere) contient des poles simples (le physicien parle plutot de dipoles), i.e., des singularites isolees du type 1/z. Si a la place on a des paires de monopoles d'egales intensites, de signes opposes et separe par une distance 2L, du type [ log(z+L) - log(z-L) ] / 2L où l'on definit la coupure comme le segment de droite reliant les deux monopoles, peut on appliquer tel quel le theoreme des residus ? Si non, comment peut il se modifier ? Si oui, qu'en est il lorsque un (ou 2) des monopoles est sur la frontiere ? Ou quand les 2 monopoles sont a l'interieur mais que la coupure traverse la frontiere ? Suffit il de modifier la coupure ? Si oui, y'a t il un probleme quand 2 coupures se croisent ? Etc. Merci. |
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On 27 Oct 2005 04:49:18 -0700, "did" <didier.oslo> wrote:
[..] >contient des poles simples (le physicien >parle plutot de dipoles), i.e., des >singularites isolees du type 1/z. les pôles n'ont pas à être obligatoirement simples (on peut très bien appliquer le th des résidus à 1/z^n ) et il me semble que ces pôles ne doivent pas être sur la frontière puisque on intégre sur cette frontière le résultat de l'intégrale étant la somme des résidus des pôles à l'intérieur du domaine délimité par cette frontière |
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Les residus sont en effets nuls pour des
singularites 1/z^n avec entier n>1. Merci, mais ca je savais. De plus oui, les poles peuvent etre sur la frontiere. Le coeff. du residu n'est alors plus 2pi, mais l'angle interne a la frontiere, soit pi pour une frontiere lisse, et 0 en dehors du domaine. D. |
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On 27 Oct 2005 11:27:36 -0700, "did" <didier.oslo> wrote:
>Les residus sont en effets nuls pour des >singularites 1/z^n avec entier n>1. Merci, mais >ca je savais. oui mais par ex pour (1+z)^4/z^3 de pôle multiple 0 , le résidu,6, n'est pas nul et on peut appliquer quand même le th des résidus en intégrant le long d'un cercle de centre 0 >De plus oui, les poles peuvent etre sur la frontiere. >Le coeff. du residu n'est alors plus 2pi, mais >l'angle interne a la frontiere, soit pi pour une >frontiere lisse, et 0 en dehors du domaine. bon, ca j'ignorai totalement (sauf pour 0 en dehors évidemment) mais, tel quel, ca me paraît quand même un peu bizarre car par exemple qu'est-ce que ca donnerait pour l'integrale de 1/(z-1) le long du cercle C de centre 0 et de rayon 1? alors que la fonction n'est pas définie en 1, pas bornée au voisinage de 1 |
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> oui mais par ex pour (1+z)^4/z^3
> de pôle multiple 0 , le résidu,6, n'est pas nul et on peut appliquer > quand même le th des résidus en intégrant le long d'un cercle de > centre 0 (1+z)^4/z^3 = 1/z^3 + 4/z^2 + 6/z + 4 + z Donc, y'a bien une singularite en 1/z avec 6 comme residus. Ou est la contradiction avec ce que j'ai dit ? > bon, ca j'ignorai totalement (sauf pour 0 en dehors évidemment) > mais, tel quel, ca me paraît quand même un peu bizarre car par > exemple > qu'est-ce que ca donnerait pour > l'integrale de 1/(z-1) > le long du cercle C de centre 0 et de rayon 1? > alors que la fonction n'est pas définie en 1, pas bornée au voisinage > de 1 C'est defini a l'aide de la partie principale de Cauchy. Int_cercle_unit dz/(z-1) = i * Pi C'est tres utile en pratique pour resoudre l'equation de Laplace, par exemple, a l'aide de formulation integrale aux frontieres. On derive ainsi, en particulier, la transformee de Hilbert. D. |
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