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Shijin (08/02/2006, 15h26)
Bonjour

Je me pose des questions quant au rapport entre la relativité
générale et la relativité restreinte : La RR peut être déduite des
équations de la RG, auquel cas la RG elle engloberait donc l'ensemble
de la théorie de la relativité, ou la RG fournit elle simplement un
support pour continuer, dans les cas où on le peut, à appliquer la
RR.

Formulé plus "techniquement" : les transformations de Lorentz
peuvent-elles se déduire des équations de "courbure de l'espace" ? Ou
faut il considérer qu'elle s'applique dans un environnement RG, et
qu'il faut prendre en compte en plus que la lumière ne se propage pas
en "ligne droite" (au sens habituel du terme) mais suit les
géodésiques de l'espace-temps.

Merci de vos réponses

Julien
d.lauwaert (08/02/2006, 16h04)
Shijin wrote:
> Bonjour
> Je me pose des questions quant au rapport entre la relativité
> générale et la relativité restreinte : La RR peut être déduite des
> équations de la RG, auquel cas la RG elle engloberait donc l'ensemble
> de la théorie de la relativité, ou la RG fournit elle simplement un
> support pour continuer, dans les cas où on le peut, à appliquer la
> RR.


La RR est un cas particulier de la RG : sans gravité.

Et si par RR tu entends "transformations de Lorentz", alors il faut
être encore plus restrictif :
sans gravité et pour les repères inertiels (ou localement, dans le
voisinage
d'un point et d'un instant).

> Formulé plus "techniquement" : les transformations de Lorentz
> peuvent-elles se déduire des équations de "courbure de l'espace" ? Ou


Ce n'est pas vraiment lié.

Pour décrire la géométrie de l'espace-temps, on utilise (en RG)
le tenseur métrique guv.
En quelque sorte, il dit comment sont reliées les coordonnées
d'espace et de temps.

- Le fait que l'espace-temps est courbe signifie que guv varie de
point en point (enfin presque :-).
- Le fait que, au moins localement, on peut appliquer les
transformations
de Lorentz est lié au "signe" de guv.
Positif dans le cas de l'espace euclidien et des transfos de Galilée
et négatif dans le cas de l'espace de Minkwoski (RR) ou de Riemann
(RG) et des transfos de Lorentz.

> faut il considérer qu'elle s'applique dans un environnement RG, et
> qu'il faut prendre en compte en plus que la lumière ne se propage pas
> en "ligne droite" (au sens habituel du terme) mais suit les
> géodésiques de l'espace-temps.


Pour être encore plus clair : considère l'espace-temps
courbe. Sur toute surface courbe, en tout point (sauf cas
pathologiques)
tu peux toujours mettre une surface plate tangente.
Ou en tout point d'une courbe sinueuse tu peux tracer une droite
tangente.
Idem ici. En tout point d'un espace-temps courbe
on peut avoir un espace-temps plat "tangent" : c'est l'espace-temps
de la RR. Au moins dans le voisinage de ce point la RR
est applicable.
StefJM (08/02/2006, 17h23)
<d.lauwaert> a écrit
> La RR est un cas particulier de la RG : sans gravité.


Si c'est sans gravité, c'est que ce n'est pas si grâve que cela...
Tom (09/02/2006, 11h27)
StefJM a écrit :
>>La RR est un cas particulier de la RG : sans gravité.

> Si c'est sans gravité, c'est que ce n'est pas si grâve que cela...


Joli :-)
Oncle Dom (09/02/2006, 12h42)
StefJM wrote:
> <d.lauwaert> a écrit
>> La RR est un cas particulier de la RG : sans gravité.

> Si c'est sans gravité, c'est que ce n'est pas si grâve que cela.

...
Tu as trouvé ça tout seul, ou tu as cherché sur Google? ;-)
[..]
Shijin (09/02/2006, 20h48)
Bonsoir

Merci de vos réponses.

Ma compréhension jusqu'alors était que la RR ne s'appliquait que dans
les cas où (en prenant c = 1)

ds^2 = -dt^2 + x^2 + y^2 + z^2

avec donc une signature (-, +, +, +). On a par ailleurs ds^2 = guv x^u
x^v, ce que le relie au tenseur métrique.

Voulez vous dire quelle s'applique dans des cas plus larges, dans votre
phrase sur le "signe" du tenseur métrique ? Comment qualifier ces cas
? Cela signifie t'il que dans tous les cas, partout dans l'espace temps
courbe, et plus particulièrement dans les champs gravitationnels forts
(où guv est très loin d'avoir une telle signature (-, +, +, +)), on
peut continuer d'appliquer la RR ?

Merci !

Julien
d.lauwaert (10/02/2006, 09h07)
Shijin wrote:
> Ma compréhension jusqu'alors était que la RR ne s'appliquait que dans
> les cas où (en prenant c = 1)
> ds^2 = -dt^2 + x^2 + y^2 + z^2
> avec donc une signature (-, +, +, +). On a par ailleurs ds^2 = guv x^u
> x^v, ce que le relie au tenseur métrique.


C'est presque toujours comme cela qu'on explique les choses.
Effectivement.
La littérature ne va pas très souvent au-delà (pour la RR)
sauf articles spécialisés.

> Voulez vous dire quelle s'applique dans des cas plus larges, dans votre
> phrase sur le "signe" du tenseur métrique ? Comment qualifier ces cas
> ? Cela signifie t'il que dans tous les cas, partout dans l'espace temps
> courbe, et plus particulièrement dans les champs gravitationnels forts
> (où guv est très loin d'avoir une telle signature (-, +, +, +)), on
> peut continuer d'appliquer la RR ?


Quelque précisions :
- Qu'un matheux me corrige si je dis une bêtise, mais la signature
est une propriété conservée. Si tu diagonalises le tenseur
métrique
(comme tu le ferais d'une matrice), la signature est invariante.
La signature reste la même par tout changement de coordonnées
et est également la même en champ fort.
(parler de la signature nécessite de diagonaliser)
- En tout point de l'espace-temps, il est toujours possible de trouver
un
changement de coordonnées qui diagonalise le tenseur métrique.
Cela correspond aux repères "en chute libre". Localement
(dans un petit domaine autour de ce point et pendant un court
instant,
en particulier en champ fort) la RR est valable (on retrouve
la métrique que tu donnes ci-dessus).
- L'absence de gravité cela implique que le tenseur d'Einstein
est nul mais pas nécessairement que le tenseur de courbure est nul
(heureusement, sinon la gravité ne pourrait pas agir à travers
le vide :-)
Mais en prenant les conditions aux limites, en l'absence de toute
source de gravité, l'espace est plat, de Minkowski.
Donc, la RR s'applique cette fois dans un domaine "infini".
- Un espace plat n'implique nullement une métrique comme celle donnée
au début. Penses aux coordonnées polaires par exemple.
Pensons aussi aux coodonnées avec des axes obliques.
Mais dans le cas de Minkowski c'est un peu plus compliqué que cela.
Le temps et l'espace étant intimement liés, dans un repère en
rotation
la métrique est également non diagonale et avec un tenseur guv(x)
non constant.
Mais le calcul du tenseur de courbure donne bien zéro.
C'est plus compliqué qu'Euclide.
La recherche (par exemple sur xxx.lanl.gov) d'articles spécialisés
sur Sagnac ou sur les repères en rotation est très instructive.

Mais comme je disais, dans la littérature "générale" sur la RR on va
rarement
aussi loin.

Notons aussi que les transformations de Lorentz ne sont
valables globalement que dans dans repères inertiels (donc pas en
rotation).
Mais on peut toujours appliquer Lorentz localement et intégrer.
Shijin (10/02/2006, 16h24)
Merci de vos réponses.

Un tour sur xxx.lanl.gov me donne justement un article
([..]) sur le fait que la métrique
guv = diag (1, -1, -1, -1) (qui est "la même" diag (-1, 1, 1, 1) ) que
est la seule métrique constante (et donc valable localement) possible.

Une question subsidiaire : peux t'on déduire les transformées de
Maxwell que cette métrique ? J'ai l'intuition que oui, car ds^2 = -c
dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 est directement lié à la constance de la
vitesse de la lumière quel que soit le référentiel inertiel...

Julien
d.lauwaert (10/02/2006, 16h49)
Shijin wrote:
> Un tour sur xxx.lanl.gov me donne justement un article
> ([..]) sur le fait que la métrique
> guv = diag (1, -1, -1, -1) (qui est "la même" diag (-1, 1, 1, 1) ) que
> est la seule métrique constante (et donc valable localement) possible.
> Une question subsidiaire : peux t'on déduire les transformées de
> Maxwell que cette métrique ?


Je suppose que tu voulais dire "Lorentz" et pas "Maxwell".

> J'ai l'intuition que oui, car ds^2 = -c
> dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 est directement lié à la constance de la
> vitesse de la lumière quel que soit le référentiel inertiel...


Tu as parfaitement raison.
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