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Serganz (10/12/2014, 18h46)
Bonjour,

Suite à quelques problèmes posés récemment dans le groupe,
voici un problème peut-être facile, dont on peut trouver
la solution à partir de la troisième, bien que la justification
soit sans doute peu accessible au collège.

Soit A et B deux points distincts du plan.
Soit alpha un nombre réel compris entre 0 et 180.
Quel est l?ensemble des points M tels que l?angle AMB
(non orienté) ait pour mesure alpha (en degrés) ?

Je suis tombé sur cette question tout seul il y a quelques jours.

Serganz.
Loki Harfagr (10/12/2014, 20h35)
Wed, 10 Dec 2014 17:46:18 +0100, Serganz did cat :

> Bonjour,
> Suite à quelques problèmes posés récemment dans le groupe,
> voici un problème peut-être facile, dont on peut trouver
> la solution à partir de la troisième, bien que la justification
> soit sans doute peu accessible au collège.
> Soit A et B deux points distincts du plan.
> Soit alpha un nombre réel compris entre 0 et 180.
> Quel est l?ensemble des points M tels que l?angle AMB
> (non orienté) ait pour mesure alpha (en degrés) ?
> Je suis tombé sur cette question tout seul il y a quelques jours.
> Serganz.


c'est assez plan-plan pour l'instant mais je crains que ta
question ne ramène rapidement Machinquiaimelescrayonsépais
si tu précise si ton acception de "compris entre" inclut les bornes.
(oui je sais, quans les borgnes sont rois yapud'limit (ou kekçakom))
Serganz (10/12/2014, 20h50)
Oui, j?inclus les bornes (0 et 180).

Cela dit, je ne lis pas les messages de
"Machinquiaimelescrayonsépais".

Seulement les réponses des infatigables.

Serganz.
Samuel DEVULDER (11/12/2014, 01h28)
Le 10/12/2014 17:46, Serganz a écrit :
> Soit A et B deux points distincts du plan.
> Soit alpha un nombre réel compris entre 0 et 180.
> Quel est l?ensemble des points M tels que l?angle AMB
> (non orienté) ait pour mesure alpha (en degrés) ?


Donc tu veux trouver tous les lieux du plans duquel le segment AB
présente un angle apparent constant à alpha.

Je le fais en mode "bourrin" car c'est le 1er truc qui m'est venu à
l'esprit, mais au vu du résultat, une démonstration purement géométrique
serait nettement mieux.

Bon allons y: petit dessin..
Samuel DEVULDER (11/12/2014, 01h30)
Le 11/12/2014 00:28, Samuel DEVULDER a écrit :

> En fait géométriquement cette propriété découle directement des
> propriétés de l'angle inscrit au centre d'un cercle: (je ne connaissais
> pas cette propriétés avant d'avoir fait le calcul algébrique ci-dessus)
> [..]


Ici c'est mieux:

[..]

[..]

a+

sam.
Bruno Ducrot (11/12/2014, 02h05)
On 2014-12-10, Samuel DEVULDER wrote:
> Le 11/12/2014 00:28, Samuel DEVULDER a écrit :
> Ici c'est mieux:
> [..]
> [..]


[..]
Olivier Miakinen (11/12/2014, 09h24)
Bonjour,

Le 10/12/2014 17:46, Serganz a écrit :
> Suite à quelques problèmes posés récemment dans le groupe,
> voici un problème peut-être facile, dont on peut trouver
> la solution à partir de la troisième, bien que la justification
> soit sans doute peu accessible au collège.


Oui, ça me semble assez simple. Je vais donner la réponse en clair
puisque ceux qui ont répondu avant moi l'ont sans doute déjà donnée.

> Soit A et B deux points distincts du plan.
> Soit alpha un nombre réel compris entre 0 et 180.
> Quel est l?ensemble des points M tels que l?angle AMB
> (non orienté) ait pour mesure alpha (en degrés) ?


Je sais déjà que les élèves peuvent trouver dès la classe de quatrième,
peut-être même avant, lorsque l'angle est droit : c'est tout le cercle
de diamètre AB (sauf les points A et B pour lesquels on ne peut pas
calculer l'angle).

Je ne sais pas en revanche à partir de quelle classe on apprend que la
propriété selon laquelle deux points d'un cercle sont vus sous le même
angle depuis tous les autres points de ce cercle reste vraie quand les
points ne sont pas sur un diamètre (avec donc un angle différent de
l'angle droit).

Comme tu parles d'angle non orienté, la réponse est donc de manière
générale : deux arcs de cercles passant par A et B (les cercles
passent par A et B, mais on doit exclure ces deux points des arcs).

Comme cas particuliers il y a :
- le segment ouvert AB si alpha vaut 180 degrés ;
- deux demi-droites ouvertes si alpha vaut 0 degrés ;
- deux arcs appartenant au même cercle si alpha vaut 90 degrés.

Cordialement,
Olivier Miakinen (11/12/2014, 09h37)
Le 11/12/2014 00:28, Samuel DEVULDER a écrit :
> [...]
> Je le fais en mode "bourrin" car c'est le 1er truc qui m'est venu à
> l'esprit, mais au vu du résultat, une démonstration purement géométrique
> serait nettement mieux.


Ouf ! Oui, pour toi qui préfères les démonstrations géométriques, je
trouve que tu t'es lancé dans des calculs qui m'auraient fait peur !

> [...]
> tan(alpha) = tan(AMH + HMB)
> = (tan(AMH) + tan(HMB)) / (1-tan(AMH)tan(HMB)
> = (x/y + (1-x)/y) / (1-x/y * (1-x)/y)
> = y/(y^2-x(1-x))
> = y/(x^2+y^2-x)
> soit
> x^2+y^2 - x - y cotan(alpha) = 0


Je ne dirai qu'un mot : wouaohhhhh !

> Les habitués reconnaissent l'équation d'un disque (le coef de x^2 et y^2
> vaut 1). Si x=0, ou x=1, il vient y^2 = y cotan(alpha), soit y = 0 ou
> y=cotan(alpha). C'est à dire que le disque passe le rectangle A,B,B',A'
> (B' et A' sont à y=cotan(alpha) au dessus de B et A respectivement).
> Donc le centre du disque est en x=1/2, et y=cotan(alpha)/2 et passe par
> A et B, c'est à dire l'équation:
> (x-1/2)^2 + (y-cotan(alpha)/2)^2 = (1+cotan(alpha)^2)/4
> B'), A' est à AB/(2tan(alpha)) "au dessus" de A. Ce qui répond
> algébriquement à la question originale.


Bon, j'avoue, je n'ai même pas eu le courage d'essayer de suivre les
calculs, mais je ne suis pas d'accord avec la conclusion (même en
remplaçant « disque » par « cercle ») : Serganz parlait d'angle non
orienté, donc on se fiche du « au dessus », et la figure est la
même des deux côtés de la droite AB.

> En fait géométriquement cette propriété découle directement des
> propriétés de l'angle inscrit au centre d'un cercle: (je ne connaissais
> pas cette propriétés avant d'avoir fait le calcul algébrique ci-dessus)
> [..]
> <<Soit A et B sur un cercle de centre O. Alors pour tout point C du
> disque on a l'angle(AOB) = 2 angle(ACB)>>


Ah, moi je la connaissais mais je l'avais oubliée. Je me rappelais juste
que l'angle vu d'un point du cercle est constant, sans me rappeler qu'il
vaut la moitié de l'angle vu du centre du cercle.

> Bref l'angle apparent de la corde AB est constant quand il est vu pour
> tout point du cercle. Ce qui répond, à présent géométriquement à la
> question initiale.


Oui.
Olivier Miakinen (11/12/2014, 09h40)
Le 11/12/2014 01:05, Bruno Ducrot a écrit :
> [..]


Merci, j'avais aussi oublié le terme « arc capable ».
Samuel DEVULDER (11/12/2014, 09h44)
Le 11/12/2014 08:37, Olivier Miakinen a écrit :

>> <<Soit A et B sur un cercle de centre O. Alors pour tout point C du
>> disque on a l'angle(AOB) = 2 angle(ACB)>>

> Ah, moi je la connaissais mais je l'avais oubliée. Je me rappelais juste
> que l'angle vu d'un point du cercle est constant, sans me rappeler qu'il
> vaut la moitié de l'angle vu du centre du cercle.


En fait la démonstration est simple, accessible en 4eme. J'ai un peu
honte d'avoir foncé sur la solution algébrique en 1er au lieu de
considérer la construction géométrique faisant apparaitre le entre du
cercle et des triangles isocèles.

a+

sam.
Ahmed Ouahi, Architect (11/12/2014, 15h39)
À toute fin utile vas-y voir ce qu'en puisses-tu y en tirer
Et en obtenir selon la calculation suivante tant rectangle
Ayant pour côtés demi diamètre d'une part et la somme

Du diamètre ainsi que de la ligne y sous tende-t-il un arc
Plus petit que cent quatre-vingt degrés d'autre part ayant
Juste aire égale au carré de la ligne l'arc égal sous tendant

Plutôt à somme d'arc et de l'arc cent quatre-vingt degrés
Moins l'arc sous tendu sur deux alors y en est-il le point
Ainsi en être pour ainsi dire justement le milieu de l'arc
Serganz (11/12/2014, 19h53)
Il semble que le problème était assez simple.
Merci à tous pour votre participation.

> Je ne sais pas en revanche à partir de quelle classe on apprend que la
> propriété selon laquelle deux points d'un cercle sont vus sous le même
> angle depuis tous les autres points de ce cercle reste vraie quand les
> points ne sont pas sur un diamètre (avec donc un angle différent de
> l'angle droit). C?est en troisième que l?on voit l?angle inscrit et l?angle au centre.


Cela dit ce n?est pas le même angle pour tous les points du cercle.
Ce sont tous ceux qui sont du « même côté » de la droite passant par
les deux points.
Et pour avoir un angle ayant pour mesure la moitié de l?angle au
centre, il faut être du même côté que le centre.

> Comme tu parles d'angle non orienté, la réponse est donc de manière
> générale : deux arcs de cercles passant par A et B (les cercles
> passent par A et B, mais on doit exclure ces deux points des arcs). En effet.


La réponse est donc effectivement accessible en troisième.
Cela dit, la justification (montrer qu?il n?y a pas d?autre
possibilité) n?est pas si évidente pour un élève de troisième.
Même si elle n?est pas insurmontable.

> Comme cas particuliers il y a :
> - le segment ouvert AB si alpha vaut 180 degrés ;
> - deux demi-droites ouvertes si alpha vaut 0 degrés ;
> - deux arcs appartenant au même cercle si alpha vaut 90 degrés. Exactement.


Un lien vers un fichier geogebra : [..]

Serganz.
Bruno Ducrot (11/12/2014, 20h10)
On 2014-12-10, Serganz wrote:
> Bonjour,
> Suite à quelques problèmes posés récemment dans le groupe,
> voici un problème peut-être facile, dont on peut trouver
> la solution à partir de la troisième, bien que la justification
> soit sans doute peu accessible au collège.
> Soit A et B deux points distincts du plan.
> Soit alpha un nombre réel compris entre 0 et 180.
> Quel est l?ensemble des points M tels que l?angle AMB
> (non orienté) ait pour mesure alpha (en degrés) ?
> Je suis tombé sur cette question tout seul il y a quelques jours.
> Serganz.


Je trouve cette figure :

[..]

* alpha = 0, on obtient la droite (A, B), privé du segment [A, B],
dessiné en vert.
* alpha = 180, on obtient le segment ouvert ]A, B[, dessiné en rouge.
* Sinon, dans le cas général, on obtient deux arc de cercles qui
sont dessinés en vert, privé des points A et B.
Les deux arcs sont symétriques par rapport à la droite (A, B).

Bon. J'ai la flemme de faire les demos. C'est assez facile en fait.
Mais s'il y a besoin, je peux les fournir.

A plus,
Olivier Miakinen (12/12/2014, 00h21)
Le 11/12/2014 18:53, Serganz m'a répondu :
>> Je ne sais pas en revanche à partir de quelle classe on apprend que la
>> propriété selon laquelle deux points d'un cercle sont vus sous le même
>> angle depuis tous les autres points de ce cercle reste vraie quand les
>> points ne sont pas sur un diamètre (avec donc un angle différent de
>> l'angle droit).

> C?est en troisième que l?on voit l?angle inscrit et l?angle au centre.


Merci.

> Cela dit ce n?est pas le même angle pour tous les points du cercle.
> Ce sont tous ceux qui sont du « même côté » de la droite passant par
> les deux points.


Est-ce qu'on ne retrouve pas quand même le même angle entre les
droites AM et MB, mais d'un autre côté ?

> Et pour avoir un angle ayant pour mesure la moitié de l?angle au
> centre, il faut être du même côté que le centre.


Ok.

> [...]
> Un lien vers un fichier geogebra : [..]


Merci ! Justement j'avais envie d'en faire un, mais je vais d'abord
étudier le tien.
Serganz (12/12/2014, 07h06)
> Est-ce qu'on ne retrouve pas quand même le même angle entre les
> droites AM et MB, mais d'un autre côté ?

Oui, mais l?angle ne regarde plus les points A et B.
Celui qui regarde les points A et B a pour mesure
180-(mesure de l?angle au centre)/2.

> Merci ! Justement j'avais envie d'en faire un, mais je vais d'abord
> étudier le tien.

Je ne sais pas s?il est optimal en terme de nombre d?objets
intermédiaires construits.

Serganz.

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