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Olivier Miakinen (05/01/2019, 15h22)
Bonjour,

Sur Wikipédia je lis ce qui suit à propos de l'indétermination de 0^0 :

<https://fr.wikipedia.org/wiki/Z%C3%A9ro_puissance_z%C3%A9ro#Exposants_r%C3%A9els >
Lorsque f(t) et g(t) sont des fonctions à valeurs réelles qui
s'approchent toutes deux de 0 à mesure que t s'approche d'un nombre
réel ou de ±? (avec f(t) > 0), alors la fonction f(t)^g(t) n'a pas
forcément comme limite 1. Suivant l'expression exacte de f et g, la
limite de f(t)^g(t) peut être n'importe quel nombre réel positif,
ou +?, ou diverger.
</>

En cherchant un peu, et posant g(t)=t, j'ai réussi à trouver des f(t),
dont la limite est 0 en 0+, et donnant pour f(t)^g(t) toute valeur
comprise entre 0 et 1 inclus.

Prenons par exemple f(t) = e^(ln K / t^a), avec 0 < K < 1 et a > 0.
Quelles que soient les valeurs de K et a dans les limites indiquées,
on peut montrer que la limite de f(t) en 0+ est 0.

Par ailleurs,
- si a > 1, limite en 0+ de f(t)^t = 0
- si a = 1, limite en 0+ de f(t)^t = K (0 < K < 1)
- si a < 1, limite en 0+ de f(t)^t = 1

Mais avec cette méthode je n'ai pas su trouver d'exemple de limite
vers un nombre plus grand que 1, ou vers +?, ou encore de divergence
sans tendre vers +?. Peut-être que pour cela je dois choisir pour
g(t) autre chose que g(t)=t ?

Qui saurait me donner des exemples de f(t) et g(t) tels que f(t)^g(t)
ne tende pas vers un nombre entre 0 et 1 ?

P.-S. : Que se passe-t-il si on autorise f(t) et g(t) à prendre des
valeurs complexes et pas seulement des valeurs réelles ?

Cordialement,
Samuel DEVULDER (05/01/2019, 17h26)
Le 05/01/2019 à 14:22, Olivier Miakinen a écrit :

> Qui saurait me donner des exemples de f(t) et g(t) tels que f(t)^g(t)
> ne tende pas vers un nombre entre 0 et 1 ?


(1+a/t)^t tends vers exp(a) il me semble, donc la limite peut être
n'importe quel réel > 0. Prends a=1 et tu converges vers exp(1)>1 sans
soucis.

a+

sam.
Olivier Miakinen (05/01/2019, 18h34)
Le 05/01/2019 16:26, Samuel DEVULDER a écrit :
>> Qui saurait me donner des exemples de f(t) et g(t) tels que f(t)^g(t)
>> ne tende pas vers un nombre entre 0 et 1 ?

> (1+a/t)^t tend vers exp(a) il me semble


Peut-être, mais (1+a/t) ne tend pas vers 0 quand t tend vers 0, ce n'est
donc pas un f(t) comme décrit sur la page de Wikipédia en question :

<https://fr.wikipedia.org/wiki/Z%C3%A9ro_puissance_z%C3%A9ro#Exposants_r%C3%A9els >
Lorsque f(t) et g(t) sont des fonctions à valeurs réelles qui
s'approchent toutes deux de 0 à mesure que t s'approche d'un nombre
réel ou de ±? (avec f(t) > 0) [...]
</>
rosab (05/01/2019, 18h57)
Olivier Miakinen a écrit :
> Bonjour,
> [...]
> En cherchant un peu, et posant g(t)=t, j'ai réussi à trouver des f(t),
> dont la limite est 0 en 0+, et donnant pour f(t)^g(t) toute valeur
> comprise entre 0 et 1 inclus.
>[...] Peut-être que pour cela je dois choisir pour
> g(t) autre chose que g(t)=t ?
> Qui saurait me donner des exemples de f(t) et g(t) tels que f(t)^g(t)
> ne tende pas vers un nombre entre 0 et 1 ?
>[...]


Si tu prends g(t)=-t, tu inverses la limite :
f(t)^(-g(t))=1/(f(t)^g(t))
Olivier Miakinen (05/01/2019, 19h03)
Le 05/01/2019 17:57, rosab m'a répondu :
>> En cherchant un peu, et posant g(t)=t, j'ai réussi à trouver des f(t),
>> dont la limite est 0 en 0+, et donnant pour f(t)^g(t) toute valeur
>> comprise entre 0 et 1 inclus.

> Si tu prends g(t)=-t, tu inverses la limite :
> f(t)^(-g(t))=1/(f(t)^g(t))


Tout simplement ! Ce qui donne toute valeur entre 1 et +?.

Un grand merci pour cela, rosab.
Samuel DEVULDER (06/01/2019, 01h18)
Le 05/01/2019 à 17:34, Olivier Miakinen a écrit :

> Peut-être, mais (1+a/t) ne tend pas vers 0 quand t tend vers 0, ce n'est
> donc pas un f(t) comme décrit sur la page de Wikipédia en question :


Ah ? ok j'avais pas vu ca dans ta question que j'avais citée:
<<Qui saurait me donner des exemples de f(t) et g(t) tels que f(t)^g(t)
ne tende pas vers un nombre entre 0 et 1 ?>>

Désolé pour le bruit alors.

a+

sam.
Olivier Miakinen (06/01/2019, 02h03)
Le 06/01/2019 00:18, Samuel DEVULDER a écrit :
>> Peut-être, mais (1+a/t) ne tend pas vers 0 quand t tend vers 0, ce n'est
>> donc pas un f(t) comme décrit sur la page de Wikipédia en question :

> Ah ? ok j'avais pas vu ca dans ta question que j'avais citée:
> <<Qui saurait me donner des exemples de f(t) et g(t) tels que f(t)^g(t)
> ne tende pas vers un nombre entre 0 et 1 ?>>


Certes. Mais je n'avais pas voulu me répéter, pensant que le contexte
était assez clair.

> Désolé pour le bruit alors.


Pas de problème, d'autant que rosab m'a donné ensuite une réponse qui
a comblé mes attentes.

Merci en tout cas d'être intervenu, il n'y a rien de plus frustrant
que de n'avoir aucun retour.
Ahmed Ouahi, Architect (06/01/2019, 13h19)
.... Pour ainsi dire toutefois s'y adonne-t-on à l'aire du triangle de
Sierpinski aurait-on une approche de zéro tandis que son perimètre
puisse-t-il s'en approcher de l'infinité quitte s'en apercevoir comment la
valeur de l'un est continuellement décroissante ...
Ahmed Ouahi, Architect (06/01/2019, 13h40)
.... Cependant à la rigueur puisse en aboutir à theta n (t) en équivaloir t
plus m sin theta n moins un (t) pour effectivement s'en compliquer la donne
des fois ne puisse-t-on y faire autrement un point c'est tout ...
Samuel DEVULDER (09/01/2019, 22h12)
Le 06/01/2019 à 01:03, Olivier Miakinen a écrit :
> Le 06/01/2019 00:18, Samuel DEVULDER a écrit :
> Certes. Mais je n'avais pas voulu me répéter, pensant que le contexte
> était assez clair.


donc j'ajoute quand f(t)->0 et g(t)->0 pour t->oo.

On a ln(f(t)^g(t)) = g(t) * ln(f(t))

Si g->0+, ca veut dire que pour "t suffisamment grand" g(t)>0, de même
f->0 impose que pour un "t suffisamment grand" f(t)<1, et donc
ln(f(t))<0. Donc en prenant le plus grand des deux "t" on a forcément
ln(f(t)^g(t))<=0, soit f(t)^g(t) <= 1.

Bref: non c'est impossible d'avoir f(t)^g(t)->k > 1 si f->0 et g->0+.

Il nous faut donc nécessairement un "g" qui soit négatif à partir d'un
certain moment, ce qui est la solution de Rosab avec un g négatif dès le
début ;)

sam.
Olivier Miakinen (10/01/2019, 00h11)
Le 09/01/2019 21:12, Samuel DEVULDER m'a répondu :
> donc j'ajoute quand f(t)->0 et g(t)->0 pour t->oo.


Oui.

Ou pour t->a quelconque. Dans mes exemples j'avais choisi t->0+ mais
dans le principe on s'en fiche : je suis d'accord que l'on peut aussi
bien choisir t->+?. Bien évidemment, dans ce cas on ne pourra pas
prendre g(t)=t ou g(t)=-t, mais par exemple g(t)=±1/t.

> On a ln(f(t)^g(t)) = g(t) * ln(f(t))
> Si g->0+, ca veut dire que pour "t suffisamment grand" g(t)>0, de même
> f->0 impose que pour un "t suffisamment grand" f(t)<1, et donc
> ln(f(t))<0. Donc en prenant le plus grand des deux "t" on a forcément
> ln(f(t)^g(t))<=0, soit f(t)^g(t) <= 1.


Eh oui !

> Bref: non c'est impossible d'avoir f(t)^g(t)->k > 1 si f->0 et g->0+.
> Il nous faut donc nécessairement un "g" qui soit négatif à partir d'un
> certain moment, ce qui est la solution de Rosab avec un g négatif dès le
> début ;)


C'est limpide. Merci pour cette précision.
MAIxxxx (17/01/2019, 00h19)
Le 05/01/2019 à 14:22, Olivier Miakinen a écrit :
[..]
> Qui saurait me donner des exemples de f(t) et g(t) tels que f(t)^g(t)
> ne tende pas vers un nombre entre 0 et 1 ?
>> P.-S. : Que se passe-t-il si on autorise f(t) et g(t) à prendre des

> valeurs complexes et pas seulement des valeurs réelles ?
> Cordialement,

Je pensais à f(x) = exp(-a/x) et g(x)=b.x a et b étant des
fonctions non infinies en 0
Par exemple f(x) = exp(-1/x) g(x)= x.sin(1/x) f(x)^g(x) =
exp(-sin (1/x) ) n'a pas de limite en 0+ et oscille entre 1/e et e
Olivier Miakinen (18/01/2019, 11h16)
Le 16/01/2019 23:19, MAIxxxx m'a répondu :
>> P.-S. : Que se passe-t-il si on autorise f(t) et g(t) à prendre des
>> valeurs complexes et pas seulement des valeurs réelles ?
>> Cordialement,

> Je pensais à f(x) = exp(-a/x) et g(x)=b.x a et b étant des
> fonctions non infinies en 0


Oui, et non nulle en 0 pour a.

> Par exemple f(x) = exp(-1/x) g(x)= x.sin(1/x) f(x)^g(x) =
> exp(-sin (1/x) ) n'a pas de limite en 0+ et oscille entre 1/e et e


Exact. Mais tu es bien toujours dans les réels, n'est-ce pas ? Je ne
comprends pas pourquoi tu réponds ça juste après mon post-scriptum
dans lequel je posais la question pour les nombres complexes.
MAIxxxx (21/01/2019, 18h39)
Le 18/01/2019 à 10:16, Olivier Miakinen a écrit :
> Le 16/01/2019 23:19, MAIxxxx m'a répondu :
> Oui, et non nulle en 0 pour a.
>> Exact. Mais tu es bien toujours dans les réels, n'est-ce pas ? Je ne

> comprends pas pourquoi tu réponds ça juste après mon post-scriptum
> dans lequel je posais la question pour les nombres complexes.
>Je ne pensais pas au PS j'aurais dû insérer ma réponse avant. Pour ce

qui est du champ complexe, rien que z^z pour z ->0 si z=i;y y réel
-> 0 z^z =
(i;y)^(i.y) = exp(i.y.ln(i.y)) (le ln est défini à 2ik<pi> près)
soit exp(i.y.[i.<pi>/2+ln(y)] ) l'exposant tend vers zéro la limite
est encore exp(0)=1

Si on passe à z^z z=-x x réel positif z^z = ((-1).x)^(-x) si
z->0- par valeurs négatives z^z = exp( [ln(-1)+ ln(x)] (-x))
ln(-1) =i.<Pi> mod(2ik<Pi>) là encore l'exposant tend vers zéro quelle
que soit la détermination de ln.

Pour un z= <rho>exp(i.<theta>) il est facile de voir que quand <rho>
tend vers zéro, z^z tend toujours vers 1 = exp(0) quel que soit le
chemin, la partie imaginaire tend toujours vers zéro.

Pour "ma" fonction F(z) = exp(-sin(1/z)) ça peut tendre vers rien du tout
si z=<rho>exp(i.<theta>) F= exp(-sin(1/z))=
exp(-sin[exp(-i.theta)/<rho>])

pour theta= <pi>/2 autrement dit pour z imaginaire pur F=
exp(-sin(-i/<rho>))

et si sin(i.x) = i.sh(x) F= exp( i. sh(1/<rho>))
quand rho tend vers zéro l'exposant est infini imaginaire pur la
fonction va osciller.
exp (i sht) = cos(t) + i.sin(t) on tourne indéfiniment sur le cercle unité

Pour un theta quelconque (entre 0 et 2.<pi>) et z=<rho>exp(i<theta>)
<rho> réel positif tendant vers zéro

F= exp(-sin(1/z)) = exp[-sin(exp(-i.<theta>)/<rho>]

soit F= exp[ -sin( ( cos<theta> - i.sin<theta>)/<rho>) ]

ou si on pose exp(-i<theta>) = a+i.b a et b réels avec a²+b² =1
constantes si on se donne <theta>, cos(<theta>) = a sin(<theta>)
=- b

F= exp(-sin [(a+i.b)/<rho>] ) et <rho> ->0+

<F> = exp[ - sin(a/<rho>).cos(i.b/<rho>) - cos(a/<rho>).sin(i.b/<rho>) ]

et comme cos(i.x) = ch(x) et sin (i.x) = i.shx

F= exp [ -sin(a/<rho>). ch(b/<rho>) - i.cos(a/<rho>). sh(b/<rho>) ]
oscille -1/1 -> +infini
oscille -1/1 -> + infini

la partie réelle de l'exposant oscille en croissant vers + ou -
l'infini quand <rho> tend vers 0+. <idem la partie imaginaire oscille
et tend vers +/- infini si b non nul

Pour a=+/-1 b=0 F=exp[-sin(a/<rho>)] z réel F oscille entre 1/e et e
Les cas a=0 (z imaginaire pur ->0) ) a été déjà examiné.

Cette étude peut-elle être posée comme question à l'oral d'entrée de
l'ENS ???:-)))

Me suis-je trompé quelque part ? Ça me prend la tête.
Olivier Miakinen (23/01/2019, 16h07)
Le 21/01/2019 17:39, MAIxxxx m'a répondu :
>> [...] Je ne
>> comprends pas pourquoi tu réponds ça juste après mon post-scriptum
>> dans lequel je posais la question pour les nombres complexes.

> Je ne pensais pas au PS j'aurais dû insérer ma réponse avant.


.... ou plutôt supprimer tout ce à quoi tu ne répondais pas, dont
mon « bonjour » et mon « cordialement » entre autres. ;-)

> Pour ce
> qui est du champ complexe, rien que z^z pour z ->0 si z=i;y y réel
> -> 0 z^z =
> (i;y)^(i.y) = exp(i.y.ln(i.y))


Oui, c'est une bonne idée de regarder déjà les imaginaires purs.

> (le ln est défini à 2ik<pi> près)


Bon, ça c'est potentiellement un problème pour une question sur
la convergence. Mais je vois dans la suite de ta réponse que dans
certains cas ça fonctionne quand même (lorsque le terme en 2ik<pi>
est absorbé par un terme qui tend vers l'infini).

> soit exp(i.y.[i.<pi>/2+ln(y)] ) l'exposant tend vers zéro la limite
> est encore exp(0)=1


Oui.

> Si on passe à z^z z=-x x réel positif z^z = ((-1).x)^(-x) si
> z->0- par valeurs négatives z^z = exp( [ln(-1)+ ln(x)] (-x))
> ln(-1) =i.<Pi> mod(2ik<Pi>) là encore l'exposant tend vers zéro quelle
> que soit la détermination de ln.
> Pour un z= <rho>exp(i.<theta>) il est facile de voir que quand <rho>
> tend vers zéro, z^z tend toujours vers 1 = exp(0) quel que soit le
> chemin, la partie imaginaire tend toujours vers zéro.


Ok pour tout jusque là.

> Pour "ma" fonction F(z) = exp(-sin(1/z)) ça peut tendre vers rien du tout


Attention cependant, pour que f(z) tende vers zéro et pas seulement
F(z) = f(z)^g(z), il faut la définir un peu différemment.

Tu avais défini :
f(x) = exp(-1/x) g(x)= x.sin(1/x)

Il faut modifier ça légèrement en :
f(z) = exp(-1/|z|) g(z)= |z|.sin(1/z)

> si z=<rho>exp(i.<theta>) F= exp(-sin(1/z))=
> exp(-sin[exp(-i.theta)/<rho>])
> pour theta= <pi>/2 autrement dit pour z imaginaire pur F=
> exp(-sin(-i/<rho>))
> et si sin(i.x) = i.sh(x) F= exp( i. sh(1/<rho>))


Joli ! Je n'aurais pas pensé à passer de sin à sh (et plus loin de
cos à ch).

> quand rho tend vers zéro l'exposant est infini imaginaire pur la
> fonction va osciller.
> exp (i sht) = cos(t) + i.sin(t) on tourne indéfiniment sur le cercle unité


Petite erreur ici, qui ne change pas la conclusion.
C'est : exp (i sht) = cos(sht) + i.sin(sht)

Mais oui, on tourne indéfiniment sur le cercle unité.

> [suite de l'étude]


Oui, je suis d'accord avec tout le reste. Encore bravo.

> Cette étude peut-elle être posée comme question à l'oral d'entrée de
> l'ENS ???:-)))


Peut-être sous une forme différente : trouver f (fonction de R+ dans R+)
et g (fonction de R+ dans C) telles que :
1) f(x) tende vers 0 en 0
2) g(x) tende vers 0 en 0
3) f(x)^g(x) dans [0, epsilon] passe par tous les nombres complexes,
aussi petit que soit epsilon > 0

Vu tout ce qu'on a déjà démontré, j'ai l'impression que c'est possible
avec des fonctions f et g qui ne seront pas forcément continues.

> Me suis-je trompé quelque part ? Ça me prend la tête.


Hormis la petite coquille sur exp(i sht), je n'ai vu aucune erreur.
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