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Olivier Miakinen (05/01/2019, 15h22)
Bonjour,

Sur Wikipédia je lis ce qui suit à propos de l'indétermination de 0^0 :

<https://fr.wikipedia.org/wiki/Z%C3%A9ro_puissance_z%C3%A9ro#Exposants_r%C3%A9els >
Lorsque f(t) et g(t) sont des fonctions à valeurs réelles qui
s'approchent toutes deux de 0 à mesure que t s'approche d'un nombre
réel ou de ±? (avec f(t) > 0), alors la fonction f(t)^g(t) n'a pas
forcément comme limite 1. Suivant l'expression exacte de f et g, la
limite de f(t)^g(t) peut être n'importe quel nombre réel positif,
ou +?, ou diverger.
</>

En cherchant un peu, et posant g(t)=t, j'ai réussi à trouver des f(t),
dont la limite est 0 en 0+, et donnant pour f(t)^g(t) toute valeur
comprise entre 0 et 1 inclus.

Prenons par exemple f(t) = e^(ln K / t^a), avec 0 < K < 1 et a > 0.
Quelles que soient les valeurs de K et a dans les limites indiquées,
on peut montrer que la limite de f(t) en 0+ est 0.

Par ailleurs,
- si a > 1, limite en 0+ de f(t)^t = 0
- si a = 1, limite en 0+ de f(t)^t = K (0 < K < 1)
- si a < 1, limite en 0+ de f(t)^t = 1

Mais avec cette méthode je n'ai pas su trouver d'exemple de limite
vers un nombre plus grand que 1, ou vers +?, ou encore de divergence
sans tendre vers +?. Peut-être que pour cela je dois choisir pour
g(t) autre chose que g(t)=t ?

Qui saurait me donner des exemples de f(t) et g(t) tels que f(t)^g(t)
ne tende pas vers un nombre entre 0 et 1 ?

P.-S. : Que se passe-t-il si on autorise f(t) et g(t) à prendre des
valeurs complexes et pas seulement des valeurs réelles ?

Cordialement,
Samuel DEVULDER (05/01/2019, 17h26)
Le 05/01/2019 à 14:22, Olivier Miakinen a écrit :

> Qui saurait me donner des exemples de f(t) et g(t) tels que f(t)^g(t)
> ne tende pas vers un nombre entre 0 et 1 ?


(1+a/t)^t tends vers exp(a) il me semble, donc la limite peut être
n'importe quel réel > 0. Prends a=1 et tu converges vers exp(1)>1 sans
soucis.

a+

sam.
Olivier Miakinen (05/01/2019, 18h34)
Le 05/01/2019 16:26, Samuel DEVULDER a écrit :
>> Qui saurait me donner des exemples de f(t) et g(t) tels que f(t)^g(t)
>> ne tende pas vers un nombre entre 0 et 1 ?

> (1+a/t)^t tend vers exp(a) il me semble


Peut-être, mais (1+a/t) ne tend pas vers 0 quand t tend vers 0, ce n'est
donc pas un f(t) comme décrit sur la page de Wikipédia en question :

<https://fr.wikipedia.org/wiki/Z%C3%A9ro_puissance_z%C3%A9ro#Exposants_r%C3%A9els >
Lorsque f(t) et g(t) sont des fonctions à valeurs réelles qui
s'approchent toutes deux de 0 à mesure que t s'approche d'un nombre
réel ou de ±? (avec f(t) > 0) [...]
</>
rosab (05/01/2019, 18h57)
Olivier Miakinen a écrit :
> Bonjour,
> [...]
> En cherchant un peu, et posant g(t)=t, j'ai réussi à trouver des f(t),
> dont la limite est 0 en 0+, et donnant pour f(t)^g(t) toute valeur
> comprise entre 0 et 1 inclus.
>[...] Peut-être que pour cela je dois choisir pour
> g(t) autre chose que g(t)=t ?
> Qui saurait me donner des exemples de f(t) et g(t) tels que f(t)^g(t)
> ne tende pas vers un nombre entre 0 et 1 ?
>[...]


Si tu prends g(t)=-t, tu inverses la limite :
f(t)^(-g(t))=1/(f(t)^g(t))
Olivier Miakinen (05/01/2019, 19h03)
Le 05/01/2019 17:57, rosab m'a répondu :
>> En cherchant un peu, et posant g(t)=t, j'ai réussi à trouver des f(t),
>> dont la limite est 0 en 0+, et donnant pour f(t)^g(t) toute valeur
>> comprise entre 0 et 1 inclus.

> Si tu prends g(t)=-t, tu inverses la limite :
> f(t)^(-g(t))=1/(f(t)^g(t))


Tout simplement ! Ce qui donne toute valeur entre 1 et +?.

Un grand merci pour cela, rosab.
Samuel DEVULDER (06/01/2019, 01h18)
Le 05/01/2019 à 17:34, Olivier Miakinen a écrit :

> Peut-être, mais (1+a/t) ne tend pas vers 0 quand t tend vers 0, ce n'est
> donc pas un f(t) comme décrit sur la page de Wikipédia en question :


Ah ? ok j'avais pas vu ca dans ta question que j'avais citée:
<<Qui saurait me donner des exemples de f(t) et g(t) tels que f(t)^g(t)
ne tende pas vers un nombre entre 0 et 1 ?>>

Désolé pour le bruit alors.

a+

sam.
Olivier Miakinen (06/01/2019, 02h03)
Le 06/01/2019 00:18, Samuel DEVULDER a écrit :
>> Peut-être, mais (1+a/t) ne tend pas vers 0 quand t tend vers 0, ce n'est
>> donc pas un f(t) comme décrit sur la page de Wikipédia en question :

> Ah ? ok j'avais pas vu ca dans ta question que j'avais citée:
> <<Qui saurait me donner des exemples de f(t) et g(t) tels que f(t)^g(t)
> ne tende pas vers un nombre entre 0 et 1 ?>>


Certes. Mais je n'avais pas voulu me répéter, pensant que le contexte
était assez clair.

> Désolé pour le bruit alors.


Pas de problème, d'autant que rosab m'a donné ensuite une réponse qui
a comblé mes attentes.

Merci en tout cas d'être intervenu, il n'y a rien de plus frustrant
que de n'avoir aucun retour.
Ahmed Ouahi, Architect (06/01/2019, 13h19)
.... Pour ainsi dire toutefois s'y adonne-t-on à l'aire du triangle de
Sierpinski aurait-on une approche de zéro tandis que son perimètre
puisse-t-il s'en approcher de l'infinité quitte s'en apercevoir comment la
valeur de l'un est continuellement décroissante ...
Ahmed Ouahi, Architect (06/01/2019, 13h40)
.... Cependant à la rigueur puisse en aboutir à theta n (t) en équivaloir t
plus m sin theta n moins un (t) pour effectivement s'en compliquer la donne
des fois ne puisse-t-on y faire autrement un point c'est tout ...
Samuel DEVULDER (09/01/2019, 22h12)
Le 06/01/2019 à 01:03, Olivier Miakinen a écrit :
> Le 06/01/2019 00:18, Samuel DEVULDER a écrit :
> Certes. Mais je n'avais pas voulu me répéter, pensant que le contexte
> était assez clair.


donc j'ajoute quand f(t)->0 et g(t)->0 pour t->oo.

On a ln(f(t)^g(t)) = g(t) * ln(f(t))

Si g->0+, ca veut dire que pour "t suffisamment grand" g(t)>0, de même
f->0 impose que pour un "t suffisamment grand" f(t)<1, et donc
ln(f(t))<0. Donc en prenant le plus grand des deux "t" on a forcément
ln(f(t)^g(t))<=0, soit f(t)^g(t) <= 1.

Bref: non c'est impossible d'avoir f(t)^g(t)->k > 1 si f->0 et g->0+.

Il nous faut donc nécessairement un "g" qui soit négatif à partir d'un
certain moment, ce qui est la solution de Rosab avec un g négatif dès le
début ;)

sam.
Olivier Miakinen (10/01/2019, 00h11)
Le 09/01/2019 21:12, Samuel DEVULDER m'a répondu :
> donc j'ajoute quand f(t)->0 et g(t)->0 pour t->oo.


Oui.

Ou pour t->a quelconque. Dans mes exemples j'avais choisi t->0+ mais
dans le principe on s'en fiche : je suis d'accord que l'on peut aussi
bien choisir t->+?. Bien évidemment, dans ce cas on ne pourra pas
prendre g(t)=t ou g(t)=-t, mais par exemple g(t)=±1/t.

> On a ln(f(t)^g(t)) = g(t) * ln(f(t))
> Si g->0+, ca veut dire que pour "t suffisamment grand" g(t)>0, de même
> f->0 impose que pour un "t suffisamment grand" f(t)<1, et donc
> ln(f(t))<0. Donc en prenant le plus grand des deux "t" on a forcément
> ln(f(t)^g(t))<=0, soit f(t)^g(t) <= 1.


Eh oui !

> Bref: non c'est impossible d'avoir f(t)^g(t)->k > 1 si f->0 et g->0+.
> Il nous faut donc nécessairement un "g" qui soit négatif à partir d'un
> certain moment, ce qui est la solution de Rosab avec un g négatif dès le
> début ;)


C'est limpide. Merci pour cette précision.
MAIxxxx (17/01/2019, 00h19)
Le 05/01/2019 à 14:22, Olivier Miakinen a écrit :
[..]
> Qui saurait me donner des exemples de f(t) et g(t) tels que f(t)^g(t)
> ne tende pas vers un nombre entre 0 et 1 ?
>> P.-S. : Que se passe-t-il si on autorise f(t) et g(t) à prendre des

> valeurs complexes et pas seulement des valeurs réelles ?
> Cordialement,

Je pensais à f(x) = exp(-a/x) et g(x)=b.x a et b étant des
fonctions non infinies en 0
Par exemple f(x) = exp(-1/x) g(x)= x.sin(1/x) f(x)^g(x) =
exp(-sin (1/x) ) n'a pas de limite en 0+ et oscille entre 1/e et e
Olivier Miakinen (18/01/2019, 11h16)
Le 16/01/2019 23:19, MAIxxxx m'a répondu :
>> P.-S. : Que se passe-t-il si on autorise f(t) et g(t) à prendre des
>> valeurs complexes et pas seulement des valeurs réelles ?
>> Cordialement,

> Je pensais à f(x) = exp(-a/x) et g(x)=b.x a et b étant des
> fonctions non infinies en 0


Oui, et non nulle en 0 pour a.

> Par exemple f(x) = exp(-1/x) g(x)= x.sin(1/x) f(x)^g(x) =
> exp(-sin (1/x) ) n'a pas de limite en 0+ et oscille entre 1/e et e


Exact. Mais tu es bien toujours dans les réels, n'est-ce pas ? Je ne
comprends pas pourquoi tu réponds ça juste après mon post-scriptum
dans lequel je posais la question pour les nombres complexes.
MAIxxxx (Aujourd'hui, 18h39)
Le 18/01/2019 à 10:16, Olivier Miakinen a écrit :
> Le 16/01/2019 23:19, MAIxxxx m'a répondu :
> Oui, et non nulle en 0 pour a.
>> Exact. Mais tu es bien toujours dans les réels, n'est-ce pas ? Je ne

> comprends pas pourquoi tu réponds ça juste après mon post-scriptum
> dans lequel je posais la question pour les nombres complexes.
>Je ne pensais pas au PS j'aurais dû insérer ma réponse avant. Pour ce

qui est du champ complexe, rien que z^z pour z ->0 si z=i;y y réel
-> 0 z^z =
(i;y)^(i.y) = exp(i.y.ln(i.y)) (le ln est défini à 2ik<pi> près)
soit exp(i.y.[i.<pi>/2+ln(y)] ) l'exposant tend vers zéro la limite
est encore exp(0)=1

Si on passe à z^z z=-x x réel positif z^z = ((-1).x)^(-x) si
z->0- par valeurs négatives z^z = exp( [ln(-1)+ ln(x)] (-x))
ln(-1) =i.<Pi> mod(2ik<Pi>) là encore l'exposant tend vers zéro quelle
que soit la détermination de ln.

Pour un z= <rho>exp(i.<theta>) il est facile de voir que quand <rho>
tend vers zéro, z^z tend toujours vers 1 = exp(0) quel que soit le
chemin, la partie imaginaire tend toujours vers zéro.

Pour "ma" fonction F(z) = exp(-sin(1/z)) ça peut tendre vers rien du tout
si z=<rho>exp(i.<theta>) F= exp(-sin(1/z))=
exp(-sin[exp(-i.theta)/<rho>])

pour theta= <pi>/2 autrement dit pour z imaginaire pur F=
exp(-sin(-i/<rho>))

et si sin(i.x) = i.sh(x) F= exp( i. sh(1/<rho>))
quand rho tend vers zéro l'exposant est infini imaginaire pur la
fonction va osciller.
exp (i sht) = cos(t) + i.sin(t) on tourne indéfiniment sur le cercle unité

Pour un theta quelconque (entre 0 et 2.<pi>) et z=<rho>exp(i<theta>)
<rho> réel positif tendant vers zéro

F= exp(-sin(1/z)) = exp[-sin(exp(-i.<theta>)/<rho>]

soit F= exp[ -sin( ( cos<theta> - i.sin<theta>)/<rho>) ]

ou si on pose exp(-i<theta>) = a+i.b a et b réels avec a²+b² =1
constantes si on se donne <theta>, cos(<theta>) = a sin(<theta>)
=- b

F= exp(-sin [(a+i.b)/<rho>] ) et <rho> ->0+

<F> = exp[ - sin(a/<rho>).cos(i.b/<rho>) - cos(a/<rho>).sin(i.b/<rho>) ]

et comme cos(i.x) = ch(x) et sin (i.x) = i.shx

F= exp [ -sin(a/<rho>). ch(b/<rho>) - i.cos(a/<rho>). sh(b/<rho>) ]
oscille -1/1 -> +infini
oscille -1/1 -> + infini

la partie réelle de l'exposant oscille en croissant vers + ou -
l'infini quand <rho> tend vers 0+. <idem la partie imaginaire oscille
et tend vers +/- infini si b non nul

Pour a=+/-1 b=0 F=exp[-sin(a/<rho>)] z réel F oscille entre 1/e et e
Les cas a=0 (z imaginaire pur ->0) ) a été déjà examiné.

Cette étude peut-elle être posée comme question à l'oral d'entrée de
l'ENS ???:-)))

Me suis-je trompé quelque part ? Ça me prend la tête.
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