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Olivier Miakinen (11/06/2019, 01h25)
Bonjour,

Dans cet article je vais commencer par rappeler l'idée de remy
pour tenter de prouver la conjecture de Goldbach en passant par
les primorielles. Je vais le faire d'une façon que j'espère
claire, exempte d'ambiguité, et lisible aussi bien par les
mathématiciens chevronnés que par les amateurs éclairés.

Ensuite, j'expliquerai les raisons qui me font dire que cette
méthode ne fonctionne pas. Mais avant de commencer je peux dire
ce qui, à mon avis, fait que remy a cru qu'elle fonctionnait :
c'est parce qu'il ne s'est pas rendu compte que les primorielles
croissent de façon exponentielle par rapport à leur plus grand
diviseur.

Première partie : l'idée
================================================== ==================
Soit un nombre pair donné 2?n. On cherche à montrer que 2?n peut
toujours s'écrire comme somme de deux nombres premiers px et py.

D'abord une définition. On appelle « primorielle de x », que l'on
note P(x), le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou
égaux à x. Par exemple, si p est un nombre premier, P(p) est le
produit de tous les nombres premiers de 2 à p. Mais cette définition
de la primorielle autorise que x ne soit pas un nombre premier ni
même un nombre entier. Exemple : P(6,575) = P(6) = P(5) = 2?3?5.

Revenons à notre 2?n.

On appelle pn le plus grand nombre premier inférieur (ou égal) à
?(2?n), et on construit la primorielle P(pn) = 2?3?5? ... ?pn.

(Note : d'après la définition de la primorielle, P(pn) pourrait
s'écrire plus directement P(?(2?n)), mais c'est un peu plus long)

On pose na = P(pn) - n.

Le but du jeu est maintenant de trouver un nombre m compris entre
0 et n, tel que (na - m) et (na + m) soient tous les deux premiers
avec P(pn). Si un tel nombre existe, alors tous les nombres suivants
sont premiers :
o) (na - m)
o) (na + m)
o) px = P(pn) - (na + m)
o) py = P(pn) - (na - m)
Note : en ce qui concerne la primalité de px, il faut en réalité que
m soit compris entre 0 et n-2, car sinon on a px = 0 ou px = 1 ; mais
ceci est un détail, pour simplifier on va dire que c'est entre 0 et n.

Si on peut trouver un tel m pour tout nombre pair 2?n, alors il
suffit de remarquer que 2?n est la somme de px et py pour prouver la
conjecture.

C'est à partir de là que l'avis de remy diverge du mien. Lui est
persuadé que ce nombre existe toujours et qu'il est facile de
s'en convaincre, moi je dis que cette méthode a toutes les chances
d'échouer et j'explique pourquoi.
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Deuxième partie : pourquoi ça ne fonctionne pas
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Pour que l'idée fonctionne, il faut trouver deux nombres premiers
particuliers entre P(pn) - 2?n et P(pn). Ils sont particuliers dans
le sens où ils sont à égale distance de P(pn)-n.

Commençons par estimer combien il y a de nombres premiers entre
P(pn) - 2?n et P(pn). On sait que le nombre de nombres premiers
entre 2 et x est très bien approché par la fonction Li(x) qui
est l'intégrale de 2 à x de dt/log(t). Entre x et y, on trouvera
donc en moyenne Li(y) - Li(x) nombres premiers, qui est l'intégrale
de dt/log(t) entre x et y.

Mais si l'intervalle y-x est très petit devant x et y, alors la
fonction dans l'intégrale peut être considérée comme constante et
égale à 1/log(x) ou 1/log(y). Du coup la valeur de l'intégrale
est très proche de la valeur de la fonction multipliée par la
longueur de l'intervalle :
intégrale(x,y,dt/log(t)) ~ (y-x) × 1/log(y)

Dans le cas qui nous intéresse, avec 2?n << P(pn), on peut espérer
trouver en moyenne 2?n/log(P(pn)) nombres premiers entre P(pn) - 2?n
et P(pn). Une simulation numérique donne une valeur moyenne qui reste
de l'ordre de ?(2?n) quand on fait varier 2?n de 10 à 10 milliards.
Cela reste assez élevé.

Mais on ne cherche pas seulement *un* nombre premier dans cet intervalle
de longueur 2?n, on en cherche *deux*, avec la contrainte qu'ils doivent
être à égale distance de P(pn) - n ! Cette contrainte me semble assez
similaire à celle qui s'applique aux nombre premiers jumeaux, du coup
leur densité doit être du même genre. Selon la conjecture de Hardy-
Littlewood, leur distribution se calcule en divisant par le carré du
log de x au lieu de diviser seulement par le log de x. On peut donc
espérer trouver en moyenne 2?n/log(P(pn))² couples (px, py) possibles.

Mais cette fois, la simulation numérique donne un résultat qui se
rapproche de 1 lorsque l'on augmente 2?n. Cela veut dire qu'en
moyenne on devrait s'attendre à trouver *un seul* couple (px, py)
pour un nombre 2?n donné. Seulement c'est une moyenne : vu la
répartition chaotique des nombres premiers, il se pourrait très bien
que parfois on trouve deux couples qui marchent, mais que parfois
on en trouve zéro. Or il suffit d'un seul exemple où ça ne fonctionne
pas pour faire écrouler toute la conjecture.

Et voilà pourquoi je dis que cette méthode par les primorielles
a toutes les chances d'échouer.
================================================== ==================

Annexe 1 : simulation numérique pour 2?n variant par puissances
de 10 jusqu'à dix milliards
================================================== ==================
$ bc -l code/output_formatting.bc code/primes.bc goldbach/remy.bc
bc 1.07.1
Copyright 1991-1994, 1997, 1998, 2000, 2004, 2006, 2008, 2012-2017 Free
Software Foundation, Inc.
This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY.
For details type `warranty'.
| 2?n | 2?n/log(primo) | 2?n/log(primo)² |
+------------------+------------------+------------------+
| 10 | 5.581 | 3.114 |
| 100 | 18.701 | 3.497 |
| 1000 | 38.425 | 1.476 |
| 10000 | 119.433 | 1.426 |
| 100000 | 339.861 | 1.155 |
| 1000000 | 1045.756 | 1.093 |
| 10000000 | 3267.114 | 1.067 |
| 100000000 | 10105.101 | 1.021 |
| 1000000000 | 31885.041 | 1.016 |
| 10000000000 | 100315.603 | 1.006 |
+------------------+------------------+------------------+
================================================== ==================

Annexe 2 : le code de goldbach/remy.bc (les autres scripts viennent
du site <http://phodd.net/gnu-bc> que je remercie)
================================================== ==================
print "+------------------+------------------+------------------+\n"
for (i = 1 ; i <= 10 ; i++) {
deux_n = 10^i
sqrt_deux_n = sqrt(deux_n)
primo = primorial(sqrt_deux_n)
logp = l(primo)
logp2 = logp^2

deux_n_sur_logp = deux_n/logp
deux_n_sur_logp2 = deux_n/logp2

print "| "
. = printff(16, 0, deux_n)
print " | "
. = printff(16, 3, deux_n_sur_logp)
print " | "
. = printff(16, 3, deux_n_sur_logp2)
print " |\n"
}
print "+------------------+------------------+------------------+\n"
quit
================================================== ==================

Cordialement,
Olivier Miakinen (11/06/2019, 02h42)
Le 11/06/2019 01:25, j'écrivais :
> Annexe 2 : le code de goldbach/remy.bc (les autres scripts viennent
> du site <http://phodd.net/gnu-bc> que je remercie)
> ================================================== ==================
> print "+------------------+------------------+------------------+\n"
> [...]
> ================================================== ==================


Il manquait la première ligne du script. Le voici en entier.
================================================== ==================
print "| 2?n | 2?n/log(primo) | 2?n/log(primo)² |\n"
print "+------------------+------------------+------------------+\n"
for (i = 1 ; i <= 10 ; i++) {
deux_n = 10^i
sqrt_deux_n = sqrt(deux_n)
primo = primorial(sqrt_deux_n)
logp = l(primo)
logp2 = logp^2

deux_n_sur_logp = deux_n/logp
deux_n_sur_logp2 = deux_n/logp2

print "| "
. = printff(16, 0, deux_n)
print " | "
. = printff(16, 3, deux_n_sur_logp)
print " | "
. = printff(16, 3, deux_n_sur_logp2)
print " |\n"
}
print "+------------------+------------------+------------------+\n"
quit
================================================== ==================
remy (11/06/2019, 09h31)
Le 11/06/2019 à 01:25, Olivier Miakinen a écrit :
> ================================================== ==================
> Deuxième partie : pourquoi ça ne fonctionne pas
> ================================================== ==================


olivier je te lai deja explique au mons 2 fois

tout les nombre premier peuvent s?écrire sous la forme d'uneprimorel

P(px)-na=p
2*3*5*7...px-na=py

si tu arrive a démontré qu'il n'existe pas 2 nombre qui sont premier
avec la primorelle

P(px)-(na+/-x)=p

alors tu as démontré que la conjecture et fausse
et pour rappel et a étais vérifier et c'est avérais _vrais_ pour le n
premier nombre paire

je te laisse trouver la valeur de n

test calcul n'apporte rien de mon point de vus

cdl remy
remy (11/06/2019, 09h44)
Le 11/06/2019 à 01:25, Olivier Miakinen a écrit :
> ================================================== ==================
> Deuxième partie : pourquoi ça ne fonctionne pas
> ================================================== ================== olivier je te l'ai déjà explique au moins 2 fois


Tous les nombres premier peuvent s?écrire sous la forme d'une primorelle

P(px)-na=p
2*3*5*7...px-na=py

si tu arrives a démontré qu'il n'existe pas 2 nombre qui sont premier

avec la primorelle P(px)-(na+/-x)=p

alors tu as démontré que la conjecture et fausse et pour rappelet a
étais vérifier et c'est avérais _vrais_ pour le n premier nombre pair
Je te laisse trouver la valeur de n

t'es calcul n'apporte rien de mon point de vus,doit doit meme pourvoir
dire que cette relation et fausse avec se type de raisonnement

P(px)-na=p
Olivier Miakinen (11/06/2019, 11h54)
Le 11/06/2019 09:44, remy a écrit :
> Le 11/06/2019 à 01:25, Olivier Miakinen a écrit :
>> ================================================== ==================
>> Deuxième partie : pourquoi ça ne fonctionne pas
>> ================================================== ==================

> olivier je te l'ai déjà explique au moins 2 fois
> Tous les nombres premier peuvent s?écrire sous la forme d'une primorelle


Oui. De la manière dont tu le fais, c'est même valable pour tous les
nombres entiers.

> P(px)-na=p
> 2*3*5*7...px-na=py


P(px)-na=i (où i est un nombre entier quelconque)
Il suffit de prendre na = P(px) - i

On peut même l'étendre aux nombres réels, voire aux complexes,
simplement na sera lui-même réel ou complexe.

> si tu arrives a démontré qu'il n'existe pas 2 nombre qui sont premier
> avec la primorelle P(px)-(na+/-x)=p
> alors tu as démontré que la conjecture et fausse et pour rappel et a
> étais vérifier et c'est avérais _vrais_ pour le n premier nombre pair
> Je te laisse trouver la valeur de n


Ce n'est pas ce que je cherche à démontrer.

Tout ce que je veux *te* montrer, c'est que ta méthode pour essayer
de montrer que la conjecture est vraie, non seulement ne prouve rien
pour le moment, mais surtout a de grandes chances de ne jamais réussir
à prouver quoi que ce soit même en la retravaillant.

Note au passage que même si j'arrivais à *prouver* que ta méthode ne
fonctionne pas, en exhibant un contre-exemple, ça ne suffirait pas
à *prouver* que la conjecture de Goldbach est fausse. Ça prouverait
seulement qu'il faut chercher une autre méthode.

> t'es calcul n'apporte rien de mon point de vus,doit doit meme pourvoir
> dire que cette relation et fausse avec se type de raisonnement
> P(px)-na=p


Je n'ai pas l'impression que tu aies compris ce que j'ai écrit. Alors
je résume de quoi il s'agit :

<résumé succint>
Sachant que P(pn) croît de façon exponentielle avec 2?n, la proportion
de nombres testables entre P(pn) - 2?n et P(pn) devient ridiculement
petite par rapport à P(pn), au point que l'on pourrait se trouver dans
le cas où tu ne trouveras plus aucun couple (px, py) avec cette méthode
lorsque 2?n est suffisamment grand.
</résumé>
remy (11/06/2019, 12h38)
Le 11/06/2019 à 11:54, Olivier Miakinen a écrit :
[..]
> je résume de quoi il s'agit :
> <résumé succint>
> Sachant que P(pn) croît de façon exponentielle avec 2?n, la proportion
> de nombres testables entre P(pn) - 2?n et P(pn) devient ridiculement
> petite par rapport à P(pn), au point que l'on pourrait se trouver dans
> le cas où tu ne trouveras plus aucun couple (px, py) avec cette méthode
> lorsque 2?n est suffisamment grand.
> </résumé>


cela ne veux absolument rien dire parce que la primorelle et le nombre
premier avec ici na dans P(px)-na=p croix exactement de la même manier

bon aller, je te laisse avec tes certitudes

Nous sommes déjà tombé d'accord sur le fait que ce que je dis et vrais
et que la suite du jeux consiste a trouve un nombre premier avec la
primorelle

c'est déjà pas mal

by remy
Olivier Miakinen (11/06/2019, 12h50)
Le 11/06/2019 12:38, remy a écrit :
> cela ne veux absolument rien dire parce que la primorelle et le nombre
> premier avec ici na dans P(px)-na=p croix exactement de la même manier


Bien sûr que na croît de la même manière que P(px), mais ce n'est
certainement pas le cas de leur différence (qui est égale à n, je ne
sais pas pourquoi d'un seul coup tu la renommes p).

> bon aller, je te laisse avec tes certitudes


Eh bien je te laisse avec les tiennes.

> Nous sommes déjà tombé d'accord sur le fait que ce que je dis et vrais
> et que la suite du jeux consiste a trouve un nombre premier avec la
> primorelle


.... à trouver un *couple* de nombres premiers avec la primorielle,
couple centré sur P(px) - n.

> c'est déjà pas mal


Ok. Content que ça te satisfasse.
Olivier Miakinen (12/06/2019, 08h31)
Bonjour,

Je me suis malheureusement trompé à un moment de mon raisonnement.

J'espère que vous ne m'en tiendrez pas trop rigueur vu la complexité
du sujet ? et surtout eu égard au fait que je m'en sois aperçu le
premier.

Le 11/06/2019 01:25, j'écrivais :
> Le but du jeu est maintenant de trouver un nombre m compris entre
> 0 et n, tel que (na - m) et (na + m) soient tous les deux premiers
> avec P(pn). Si un tel nombre existe, alors tous les nombres suivants
> sont premiers :
> o) (na - m)
> o) (na + m)
> o) px = P(pn) - (na + m)
> o) py = P(pn) - (na - m)


C'est là qu'est mon erreur. Certes px et py seront bien premiers
tout courts, mais pas forcément (na - m) ni (na + m). Ceux-là sont
trop grands pour qu'être premiers avec P(pn) les force à être juste
premiers.

Du coup...

> [...]
> Pour que l'idée fonctionne, il faut trouver deux nombres premiers
> particuliers entre P(pn) - 2?n et P(pn). Ils sont particuliers dans
> le sens où ils sont à égale distance de P(pn)-n.


Ben non. Ils sont certes particuliers du fait d'être à égale distance
de P(pn)-n, mais vu qu'ils ne sont pas forcément premiers je ne peux
pas estimer leur nombre avec Li(x).

En conclusion : même si remy n'a pas encore prouvé la conjecture de
Goldbach, je n'ai plus aucune raison de penser que cette approche
avec les primorielles a toutes les chances d'échouer. Elle *peut*
ne mener à rien, mais jusqu'à preuve du contraire je ne peux pas
estimer qu'elle *doit* ne mener à rien.

Désolé.
remy (12/06/2019, 09h19)
Le 12/06/2019 à 08:31, Olivier Miakinen a écrit :
[..]
> pas estimer leur nombre avec Li(x).
> En conclusion : même si remy n'a pas encore prouvé la conjecture de
> Goldbach, je n'ai plus aucune raison de penser que cette approche
> avec les primorielles a toutes les chances d'échouer. Elle *peut*
> ne mener à rien, mais jusqu'à preuve du contraire je ne peux pas
> estimer qu'elle *doit* ne mener à rien.
> Désolé.


merci pour ton honnêteté intellectuelle mais j'ai plussieur Mo
de ram qui peuvent tout aussi bien dire le contraire

je vais simplement dire que pour l'instant il n'y a pas trop de connerie
dans le pdf et que la question reste ouverte

cdl remy
Olivier Miakinen (12/06/2019, 17h32)
Le 12/06/2019 09:19, remy m'a répondu :
>> [l'approche de remy], jusqu'à preuve du contraire je ne peux pas
>> estimer qu'elle *doit* ne mener à rien.

> merci pour ton honnêteté intellectuelle mais j'ai plussieur Mo
> de ram qui peuvent tout aussi bien dire le contraire


Tu as plusieurs Mo de ram qui tendent à prouver que ton approche ne
doit mener à rien, et tu ne nous as rien dit ? ;-)

> je vais simplement dire que pour l'instant il n'y a pas trop de connerie
> dans le pdf


Si tu n'as pas changé ton PDF depuis la version de mai dernier, il
reste quand même un certain nombre de choses pas claires du tout
(qu'on a éclaircies patiemment ici), et en particulier le manque
de cohérence dans les notations, que ce soient les « résultats »
dont on ne sait pas ce qu'ils désignent, ou les « px et py » qui
sont tantôt des diviseurs de n et tantôt les nombres cherchés
pour la décomposition en somme de deux nombres premiers.

> et que la question reste ouverte


Oui. La conjecture reste une conjecture.
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